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\begin{document}

Cadeias de Markov\\

$P_{i,j} = P\{X_{n+1} = j | X_n = i\}$

n-step transition probability $P_{i,j}^n$\\
$P_{i,j}^{n} = P\{X_{n+m} = j | X_m = i\}, n \geqslant 0, i,j \geqslant 0$

Chapman-Kolmogorov\\
$P_{i,j}^{n+m} = \sum_{k = 0}^\infty P_{i,k}^{n} P_{k,j}^{m}$


\begin{enumerate}

\item Classificação de estados:

\begin{itemize}

\item Acessibilidade
$j$ é acessivel por $i$ se $P_{i,j}^{n} > 0$, para algum $n \geqslant 0$

$P_{i,i}^{0} = 1; (P\{X_0 = i | X_0 = i\})$

\item Comunicabilidade
Dois estados se comunicam se $i$ é acesivel de $j$ e $j$ é acessivel de $i$

simbolicamente $i \leftrightarrow j$

propriedades:

$i \leftrightarrow i$\\
se $i \leftrightarrow j$ então $j \leftrightarrow i$\\
se $i \leftrightarrow j$ e $j \leftrightarrow k$ então $i \leftrightarrow k$\\

\item Classes de estados
dois estados que se comunicam, estão na mesma classe.

duas classes são identicas ou disjuntas, logo o conceito de comunicação divide
a cadeia em classes separadas. se a cadeia tiver apenas uma classe, ela é dita
irredutivel

\item Periodicidade

Ler sobre isso

\item Trasitoriedade e Recorrencia
O estado $i$ é

recorrente se $\sum_{n = 0}^\infty P_{i,i}^{n} = \infty$
transiente se $\sum_{n = 0}^\infty P_{i,i}^{n} < \infty$

(pelo menos um estado na cadeia é recorrente!!!)

\item Absorvência

\end{itemize}

\item Classificação de cadeias


\begin{itemize}

\item Redutibilidade

\item Periodicidade

\end{itemize}

\end{enumerate}

\end{document}

